日本は国民皆保険制度をとっていて、なんらかの社会保険に加入する必要があります。

①ゆめさんご自身が保険料を負担するケースとしてはアルバイト先の従業員数が101人以上（2024年10月からは51人以上）であれば、年収106万円以上を得た場合に会社の社会保険に加入できます。従業員数が100人以下（2024年10月からは50人以下）の場合は年収130万円以上を得た場合に国民健康保険や国民年金に加入することになります。

②ゆめさんご自身が保険料を負担しないケースとしては、彼氏さんや親御さんの扶養に入るという選択肢があります。ゆめさんを社会保険の扶養として扱えるかは、彼氏さんや親御さんの勤務先の健康保険の運営方針によって異なります。見込み年収が106万円や130万円未満で、内縁関係にあると認められる場合などで、結婚前でも彼氏さんの扶養として健康保険に加入できる可能性があります。

③いずれにも該当しないケースの場合は、お住まいの自治体の健康保険や国民年金の窓口に相談をして保険料を減額・免除してもらうことができるかなど、相談をされると良いでしょう。

何らかの社会保険には加入しなければいけないため、①ご自身で保険料を払う、②扶養に入る、③免除の手続きを取る、いずれかをまず考えてください。
その上で、社会保険に入っていない場合、どのような事態が想定されるかをいくつか整理しておきます。

例えば、健康保険に加入していなければ病院に行ったとき、その治療費が全額自己負担になります。健康保険に加入していると病院で支払う金額は実際にかかる金額の3割です。1ヶ月で支払う医療費の自己負担額にも上限（年収約370万円までの人はひと月57,600円まで等）が定められています。こうした保障を受けられないため、体調を崩した場合に高額の医療費を自分で捻出しなければいけない恐れがあります。
また国民年金や厚生年金に加入していないことで、将来受け取ることができる（老齢）年金が少なくなったり受け取れなくなってしまうことや、今、障害をおった時に支給される障害年金も支給されない可能性があります。

一般的に民間の保険商品だけで医療や障害に充分に備えようとすると高額で、公的な社会保険に加入しつつ、もし足りないようであれば民間の保険商品で上乗せをするという考え方が適当です。
なお、金額にもよりますが、2カ所以上からお給料をもらうと源泉徴収や年末調整だけでなく、確定申告を行うことが必要になります。1月1日時点のお住まいの住所を管轄する税務署に相談するようにしてください。