お子さん名義の口座で積み立てられているお金を教育資金に使われるようであれば、贈与税の対象になる可能性は低いと考えられます。

生活費や教育資金などを都度、親が子に対して支払ってあげることについては贈与税がかかりません。年間110万円以上のお金を贈与し、それが子供にとっての財産形成につながる場合などが贈与税の対象になります。
現在Noriさんが準備されている資金を高校の入学時までに使い切ったり、お子さんに口座を引き継ぐタイミングでの残高が110万円以下になる場合、贈与税はかからないと考えられます。

一方で、成人年齢が18歳になったため、18歳以降はお子さん名義の口座はお子さんご自身で管理をする必要があります。Noriさんが、お子さんには自由に口座を選んで欲しいとお考えであれば、18歳までに教育資金として現在準備されているお金を使って、口座を閉じることも選択肢になります。

お子さんが自身の口座の存在を知らず、Noriさんが積み立ててくれていることも知らない場合は、その財産はお子さんではなく、Noriさんの財産として見なされる可能性が高いです（名義預金）。そのため、もしもNoriさんに万が一のことがあった場合は、口座内のお金はNoriさんからの相続財産として数えられることになります。
Noriさんご自身の他の資産が相続税の基礎控除額（3,000万円＋600万円×法定相続人。Noriさんに夫と子が1人の場合では4,200万円）を超えている場合には、一部、相続税を支払うことになりますが、そうでなければ、相続税もかかりません。

「贈与か名義預金か」については子に贈与された認識があるか等が、「相続」についてはNoriさんご自身の他の財産も整理して判断する必要があります。
税金については、日本税理士会連合会が電話や対面などの無料相談を実施しています。住所地を管轄する税務署も質問に答えてくれるため、税に関する専門の窓口に相談されるのが良いでしょう。